Математический парадокс обменных операций

Финансы и сама экономика базируется на обменных операциях, а обмен в экономике это движение товара через деньги от одного владельца к другому.

Под математическим парадоксом обычно понимают истину, настолько противоречащую нашему опыту, интуиции и здравому смыслу, что в нее трудно поверить даже после того, как мы шаг за шагом проследим все ее доказательство.

Так в чем заключается парадокс операций при обмене различных объектов или валют? Рассмотрим на примере игры – парадокса 2-х конвертов. Именно он нагляднее всего иллюстрирует, в какой связи возникает стремление к спекуляции.

Данный парадокс заключается в следующем. Имеются два конверта. В один из них вкладывается сумма х долларов, в другой 2х; однако неизвестно, в каком конверте какая сумма, так как они неразличимы, а также неизвестно значения х. Если случайным образом в руках окажется один конверт, и, открыв его, вы обнаружите в нем некоторую сумму, к примеру, у. Из этого можно сделать вывод, что в другом конверте содержится сумма либо у/2, либо 2у, причем с равными вероятностями ½. Поскольку математическое ожидание суммы в другом конверте (1/2)*2у + (1/2)*(у/2) = (5/4)*у, т.е. больше того, что имеете (у), то и возникает естественной желание обменять один конверт на другой. Однако парадоксальность ситуации заключается в том, что тот, кому достанется любой конверт будет рассуждать точно также, а потому и захочет обменять один конверт на другой. Обратите внимание, что, хотя, скорее всего, в результате обмена конвертов один из участников этой операции будет в восторге от выигрыша, а другой – в печали от убытка, тем не менее, весомый мотив «спекульнуть» возникает у каждого (причем в равной степени) вследствие, якобы, благоприятного математического ожидания результата сделки.

Допустим в открытом конверте 100 долларов, тогда в другом будет 200 или 50 долларов, что является огромной мотивацией осуществить обмен, так как выиграть ещё можно 100 долларов, а проиграть всего лишь 50. Данные рассуждения приводят к несовпадающим результатам, а полученное противоречие и называют "парадоксом двух конвертов".

История его возникновения берет начало в 1953 году, когда эту идею предложил Морис Крайчик, но широкую известность парадокс получил благодаря Мартину Гарднеру который описал его в своей книге в 1982 г.

Первоначально он был проиллюстрирован на примере с ценой галстука или толщиной кошелька и звучал следующим образом: Два человека решают сравнить суммы денег в их кошельках. При этом они договорились, что тот, у кого их окажется меньше, забирает все деньги себе. Причем каждый из них рассуждал следующим образом. Максимум, что я могу проиграть это деньги, которые имею, а выиграть могу больше, поэтому эта игра выгодна для меня. Понятно, что симметричная игра не может быть одновременно выгодной обеим сторонам и получается парадокс.

Гарднер отмечает, что Крайчик для объяснения рассматривает одинаковое равновероятное распределение вероятностей сумм в каждом кошельке. При этом получается нулевая матрица платежей и игра оказывается симметричной. Однако пишет Гарднер, "к сожалению, это ничего не говорит нам о том, где именно в рассуждениях двух игроков кроется ошибка. Как мы ни бились, нам так и не удалось найти простое и удовлетворительное решение парадокса Крайчика." Неудивительно, что после такого заявления он вызвал большой интерес.

Как данный парадокс может быть полезен трейдерам? Представим, что имеется у долларов, которые сегодня можно проконвертировать в евро по курсу 1 к 1, а через время выполнить обратную конвертацию, но уже по курсу либо 1 к 2, либо 2 к 1, причем с равными вероятностями ½. Разумеется, вы захотите совершить подобную манипуляцию, поскольку математическое ожидание ее результата будет (5/4)*у, т.е. больше у долларов. Но точно также будет рассуждать и владелец у евро. И он тоже захочет провернуть подобную операцию. А теперь представим, что есть портфель, в котором у долларов и у евро. Тогда в качестве первой стратегии можно сегодня перевести все доллары в евро, а через время осуществить обратную конвертацию, в результате чего можно надеяться поиметь новый портфель, математическое ожидание величины которого составит((5/4)*у долларов + у евро). Ничто не мешает теперь комбинировать альтернативные стратегии, т.е. начиная с портфеля (у долларов и у евро), в каждый период переводить все доллары, которые мы имеем в евро, а все евро, которые мы имеем, в доллары. Кто-то может сказать, что обратная конвертация на другой день по курсу 1 к 2 или 2 к 1 - это натяжка, поскольку столь резкое изменение курсов возможно только в случае резкой девальвации; по этой причине далее мы будем говорить о временном периоде t и изменении курса в отношении 1 к а или а к 1, (где, а>1) с вероятностью ½. Интересно, что если в портфеле, состоящем из (у долларов и у евро), заменить доллары обыкновенными акциями и интерпретировать а как цену акций, то можно увидеть, что та же самая стратегия должна быть прибыльна не только на валютных рынках, но и на всех рынках с регулярной торговлей, т.е. в течение бесконечного количества периодов. Понятно, что богатство притекает не из парадокса, а за счет новых участников, которые входят в рынок, возможно, по тем же самым соображениям и с теми же самыми стратегиями, которые используют участники, уже находящиеся в рынке. Конечно, отсюда и вытекает правило о том, что «прилив поднимает все корабли и лодки». Однако, как известно, рано или поздно прилив иссякает и начинается отлив. И тогда пузырь, который раздувался, лопается, а пирамида, которая выстраивалась, рушится.

В.В.Соболев,

Институт финансового контроля и аудита